Создан 05 дек.

12.8k44 золотых знака3737 серебряных знаков8787 бронзовых знаков

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

— В чем разница между открытыми и закрытыми наборами?

Множество $ \ tau $ из открытых подмножеств множества $ X $ является алгебраической структурой с $ \ cup $ и $ \ cap $.Пересечение двух множеств в $ \ tau $ должно быть множеством в $ \ tau $. И союз $ \ displaystyle \ bigcup_ {i \ in I} \ mathcal O_ {i} $ должен быть в $ \ tau $ для любого набора открытых множеств $ \ {\ mathcal O_ {i} \} _ {i \ in I} $ . Также $ \ emptyset, X \ in \ tau $. И это все.

Множество $ \ sigma $ из замкнутых подмножеств множества $ X $ — это множество $ \ {\ complement_X \ mathcal O \} _ {\ mathcal O \ in \ tau} $, который представляет собой двойную структуру , такую, что объединение любых двух замкнутых множеств является замкнутым множеством и такой, что $ \ displaystyle \ bigcap_ { i \ in I} \ mathcal F_ {i} $ замкнут для любого набора замкнутых множеств $ \ {\ mathcal F_ {i} \} _ {i \ in I} $.И $ \ emptyset, X $ одновременно открыты и закрыты.

Любая из этих двух структур определяет топологию на $ X $, которая добавляет понятие близости к $ X $. С топологией на множестве $ X $ можно не только решить, какие элементы принадлежат подмножеству $ X $, но также и какие элементы в $ X $ являются ближайшими к этому подмножеству:

$ x \ in \ overline A \ Leftrightarrow \ forall \ mathcal O \ in \ tau: x \ in \ mathcal O \ Rightarrow A \ cap \ mathcal O \ neq \ emptyset \ qquad $ или дважды

$ \ displaystyle \ overline A = \ bigcap _ {\ mathcal F \ in \ sigma_A} \ mathcal F $, где $ \ sigma_A = \ {\ mathcal F \ in \ sigma | A \ substeq \ mathcal F \} $.2 $ такой, что

1. $ \ neg \ exists x \ in X: x \ propto \ emptyset $
2. $ x \ in A \ Rightarrow x \ propto A $
3. $ x \ propto A \ substeq B \ Rightarrow x \ propto B $
4. $ x \ propto A \ cup B \ Rightarrow x \ propto A \ vee x \ propto B $.

Тогда $ \ propto $ определяет отношение топологической близости (и топологию) на X с помощью $ x \ in \ overline A \ Leftrightarrow x \ propto A $.

Другой старик думает о топологии

Открытых и закрытых вопросов

Методы > Анкетирование> Открытые и закрытые вопросы

Закрытые вопросы | Открыть вопросы

Это два типа вопросов, которые вы можете использовать, которые сильно отличаются друг от друга. характер и использование.

Закрытые вопросы

Определение

Есть два определения, которые используются для описания закрытых вопросов. А общее определение:

На закрытый вопрос можно ответить одним словом или короткая фраза.

Таким образом, «Сколько тебе лет?» а где ты живешь?’ это закрытые вопросы. А иногда используется более ограничивающее определение:

На закрытый вопрос можно ответить «да» или ‘нет’.

По этому определению «Вы счастливы?» и «Это нож, который я вижу перед собой?» находятся закрытые вопросы, в то время как «Который час?» а сколько тебе лет?’ не. Этот вызывает проблему, как классифицировать вопросы с коротким ответом, не требующие ответа «да» или «нет», которые не соответствуют определению открытых вопросов. Способ обращения это означает определение «да-нет» как подкласса закрытого вопроса с коротким ответом.

Использование закрытых вопросов

Закрытые вопросы имеют следующие характеристики:

• Они дают вам фактов .
• Они легко ответить.
• Они быстрые ответят.
• Они контролируют беседу с допрашивающим .

Это делает закрытые вопросы полезными в следующих ситуациях:

Обратите внимание, как вы можете превратить любое мнение в закрытый вопрос, который заставляет нет, добавив вопросы к тегам, такие как «не так ли?», «не надо» вы? »или« разве они не могут? »на любое утверждение.

Первое слово вопроса задает динамику закрытого вопроса и сигнализирует о том, что впереди будет легкий ответ. Обратите внимание на слова вроде: do, would, are, будет, если .

Открытые вопросы

Определение

Открытый вопрос можно определить так:

На открытый вопрос, скорее всего, будет длинный ответ.

Хотя на любой вопрос можно получить развернутый ответ, открывать вопросы намеренно ищут более длинные ответы и являются противоположностью закрытых вопросов.

Использование открытых вопросов

Открытые вопросы имеют следующие характеристики:

• Просят респондента подумать, и задуматься.
• Они дадут вам мнений и чувств .
• Передают контроль разговора респонденту .

Это делает открытые вопросы полезными в следующих ситуациях:

Открытые вопросы начинаются с таких как: что, почему, как описать .

Использование открытых вопросов может быть пугающим, поскольку кажется, что они передают эстафету контроля. к другому человеку. Тем не менее, правильно поставленные вопросы позволяют вам контролировать ситуацию. поскольку вы направляете их интерес и привлекаете их там, где хотите.

При открытии разговора хороший баланс — это три закрытых вопроса. на один открытый вопрос.Закрытые вопросы начинают разговор и подводят итог. прогресс, в то время как открытый вопрос заставляет другого человека думать и продолжать чтобы предоставить вам полезную информацию о них.

Изящный трюк — заставить их задать вам открытых вопросов. Тогда это дает Вам слово, чтобы поговорить о том, что вы хотите. Способ добиться этого — заинтриговать их неполной историей или выгодой.

метрических пространств: открытые и закрытые наборы

Краткое введение в метрические пространства:

Нашим основным примером метрического пространства является $ (\ R, d), $, где $ \ R $ — множество действительных чисел. а $ d $ — обычная функция расстояния на $ \ R, $ $ d (a, b) = | a-b |.$ В этом метрическом пространстве есть идея «открытого множества». Подмножество $ \ R $ открыто в $ \ R $, если это объединение открытых интервалов. Другой способ определить открытое множество — в терминах расстояния. Множество открыто в $ (\ R, d) $, если всякий раз, когда оно содержит число $ a, $ it также содержит все числа, «достаточно близкие» к $ a. $ Точнее, подмножество $ A $ из $ \ R $ открыто в $ (\ R, d) $, если для каждого $ a \ in A, $ существует такое число $ \ varepsilon> 0 $, что открытый интервал $ (a- \ varepsilon, a + \ varepsilon) $ является подмножеством $ A.$ Открытый интервал $ (a- \ varepsilon, a + \ varepsilon) $ состоит из все числа, находящиеся на расстоянии $ \ varepsilon $ от $ a. $ В общем метрическом пространстве аналог интервала $ (a- \ varepsilon, a + \ varepsilon) $ представляет собой «открытый шар радиуса $ \ varepsilon $ около $ a, $», и мы можем определить множество быть открытым в метрическом пространстве, если всякий раз, когда он включает точку $ a, $ он также включает целый открытый шар радиуса $ \ varepsilon $ около $ a. $

Определение 1.1: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство. Для $ a \ in M ​​$ и $ r> 0, $ определим открытый шар около $ a $ радиуса $ r $ должен быть установите $ B_r (a) = \ {x \ in M ​​\; | \; d (x, a)

Определение 1.2: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство, и пусть $ x \ in M. $ Подмножество $ A $ в $ M $ называется окрестностью $ x $, если существует $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ B_ \ varepsilon (x) \ substeq A $; то есть, если $ A $ содержит открытый шар около $ x. $

Определение 1.3: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство. Подмножество $ X $ в $ M $ называется открытым в $ (M, d) $ тогда и только тогда, когда если для каждого $ a \ in X, $ существует $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ B_ \ varepsilon (a) \ substeq X.$ Обратите внимание, что набор открыт тогда и только тогда, когда он окрестность каждой из его точек.

Чтобы оправдать название «открытый мяч», мы должны проверить, что открытый мяч на самом деле открытый набор согласно приведенному выше определению. Этот факт можно доказать с помощью неравенство треугольника:

Теорема 1.1: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство. Пусть $ a \ in M ​​$ и $ \ varepsilon> 0. $ Тогда открытый шар $ B_ \ varepsilon (a) $ — открытое множество.

Доказательство: Пусть $ b $ — любая точка в $ B_ \ varepsilon (a).$ Чтобы показать, что $ B_ \ varepsilon (a) $ открыто, мы должны показать, что существует $ \ delta> 0 $ такое, что $ B_ \ delta (b) \ substeq B_ \ varepsilon (a). $ Пусть $ \ delta = \ frac {1} {2} \ big (\ varepsilon — d (b, a) \ big). $ Поскольку $ b \ in B_ \ varepsilon (a), $, мы знаем по определению, что $ d (b, a) <\ varepsilon, $, так что $ \ delta> 0. $

Чтобы показать $ B_ \ delta (b) \ substeq B_ \ varepsilon (a), $ let $ c \ in B_ \ delta (b). $ По определению это означает, что $ d (c, b)

Это изображение иллюстрирует доказательство:

Теорема 1.2: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство. Тогда открытые множества в $ M $ удовлетворяют следующим свойствам:

1. $ M $ открыто и $ \ varnothing $ открыто;
2. объединение любого набора (конечного или бесконечного) открытых множеств открыто; и
3. пересечение любого конечного набора открытых множеств открыто.

Доказательство: Для (1) отметим, что пустое множество пусто содержит открытый шар вокруг каждой своей точки, так как он не содержит точек. И множество $ M $ содержит открытый шар вокруг каждой своей точки, потому что каждый открытый шар является подмножеством $ M.$

Для (2) предположим, что $ \ {\ O_ \ alpha \, | \, \ alpha \ in A \} $ — это любой набор открытых множеств. в $ (M, d). $ Пусть $ x \ in \ bigcup _ {\ alpha \ in A} \ O_ \ alpha. $ Мы должны найти $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ B_ \ varepsilon (x) \ substeq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} \ O_ \ alpha. $ Но поскольку $ x $ находится в объединении $ \ O_ \ alpha, $ существует некоторый $ \ beta \ in A $ такой, что $ x \ in \ O_ \ beta. $ Поскольку $ \ O_ \ beta $ открыто, существует $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ B_ \ varepsilon (x) \ substeq \ O_ \ beta. $ Тогда, поскольку $ B_ \ varepsilon (x) \ substeq \ O_ \ beta $ и $ \ O_ \ beta \ substeq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} \ O_ \ alpha, $ следует, что $ B_ \ varepsilon (x) \ substeq \ bigcup _ {\ alpha \ in A} \ O_ \ alpha.n \ O_i. $ (Здесь используется очевидный факт, что если $ r \ le s, $, то $ B_r (x) \ substeq B_s (x). $) ∎

Поскольку любой открытый интервал в $ \ R $ является открытым множеством в $ (\ R, d), $ мы видим, что любое объединение открытых интервалов открыто в $ (\ R, d), $, включая бесконечные объединения. Также верно, что, наоборот, каждое открытое множество в $ (\ R, d) $ является объединением открытых интервалов. Фактически, легко видеть, что любое открытое множество в любом метрическом пространстве является объединением открытые шары, а открытый шар в $ (\ R, d) $ — открытый интервал. Обратите внимание, что бесконечное пересечение открытых интервалов может быть или не быть открытым.

Мы также можем определять «замкнутые» множества в метрическом пространстве. В $ (\ R, d), $ имеется идея отрезок $ [a, b], $, но не сразу понятно, как определить замкнутые множества в Генеральная. Отметим, что дополнением отрезка $ [a, b] $ является открытый set $ (- \ infty, a) \ cup (b, \ infty). $ Мы используем это как основу для общего определения.

Определение 1.4: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство. Подмножество $ C $ метрического пространства $ (M, d) $ есть называется замкнутым в $ (M, d) $ если его дополнение, $ M \ smallsetminus C, $ открыто в $ (M, d).$

Обратите внимание, что набор может быть как открытым, так и закрытым; например, пустой набор одновременно открыт и закрыт в любом метрическом пространстве. Более того, набор может быть ни открытым, ни закрытым; Например, в $ (\ R, d), $ полуоткрытый ограниченный интервал $ [a, b) $ не является ни открытым, ни замкнутым.

Применяя законы ДеМоргана к предыдущей теореме, мы можем легко доказать следующая аналогичная теорема для замкнутых множеств:

Теорема 1.3: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство. Тогда замкнутые множества в $ M $ удовлетворяют следующим свойствам:

1. $ M $ закрыто и $ \ varnothing $ закрыто;
2. пересечение любого набора (конечного или бесконечного) замкнутых множеств замкнуто; и
3. объединение любого конечного набора замкнутых множеств замкнуто.

Обратите внимание, что роли пересечений и объединений для закрытые множества: бесконечное объединение открытых множеств открыто, но бесконечное объединение замкнутых множеств не обязательно замкнуто. Бесконечное пересечение замкнутых множества замкнуты, но бесконечное пересечение открытых множеств не обязательно открыто.

Мы можем дать альтернативное определение замкнутого множества, используя идею «точки накопления» (также известная как «точка кластера» или «предельная точка»). Точка накопления набора — это точка, которая сколь угодно близок к элементам этого множества.

Определение 1.5: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство, пусть $ X \ substeq M, $ и пусть $ x \ in X. $ Тогда $ x $ — точка накопления $ X $, если для каждого $ \ varepsilon> 0, $ $ X \ cap (B_ \ varepsilon (x) \ smallsetminus \ {x \}) \ ne \ varnothing. $ То есть для любого $ \ varepsilon> 0, $ существует хотя бы один элемент $ X, $ отличный от самого $ x $, который находится внутри расстояние $ \ varepsilon $ от $ x. $

Обратите внимание, что точка накопления $ X $ может быть или не быть элементом $ X. $ Например, рассмотрим метрику пространство $ (\ R, d), $, где $ d $ — обычная метрика.Точки накопления открытого интервала $ X = (0,1) $ равны все точки в отрезке $ [0,1]. $ В этом примере каждая точка $ X $ является точкой накопления, и есть два дополнительные точки накопления $ X, $ нуля и единицы, которые не являются элементами $ X. $ Единственная точка накопления множества $ Y = \ {\ frac {1} {n} \, | \, n \ in {\ mathbb N} \} $ — это число ноль, поэтому в этом случае точка накопления $ Y $ не является элементом $ Y. $

Для любого замкнутого множества $ X, каждая точка накопления $ X $ является элементом $ X.$ Фактически, это свойство характеризует замкнутые множества.

Теорема 1.4: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство, и пусть $ X \ substeq M. $ $ X $ замкнуто. тогда и только тогда, когда каждая точка накопления $ X $ является элементом $ X. $

Доказательство: Предположим сначала, что $ X $ замкнуто. Пусть $ x $ будет точкой накопления $ X. $ Нам нужно показать, что $ x \ in X. $ Предположим для противоречия, что $ x \ not \ in X. $ Тогда $ x $ находится в дополнение, $ M \ smallsetminus X. $ Поскольку $ X $ замкнуто, мы знаем по определению closed, что $ M \ smallsetminus X $ открыт.Поскольку $ M \ smallsetminus X $ открыто и $ x \ in M ​​\ smallsetminus X, $ мы знаем по определению открытого множества, что существует $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ B_ \ varepsilon (x) \ substeq M \ smallsetminus X. $ Поскольку $ B_ \ varepsilon (x) $ целиком содержится в дополнении к $ X, $ пересечение $ X \ cap B_ \ varepsilon (x) = \ varnothing. $ Но это противоречит тому факту, что $ x $ является точкой накопления $ X. $ Это противоречие показывает, что $ x \ not \ in X $ невозможно, и поэтому мы должны иметь $ x \ in X. $

Наоборот, предположим, что каждая точка накопления $ X $ является элементом $ X.$ Нам нужно показать что $ X $ закрыто. То есть мы должны показать, что дополнение $ M \ smallsetminus X, $ открыто. Пусть $ a \ in M ​​\ smallsetminus X. $ По определению open нам нужно найти $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ B_ \ varepsilon (a) \ substeq M \ smallsetminus X. $ Поскольку $ a \ not \ in X $ и каждая точка накопления $ X $ находится в $ X, $ следует, что $ a $ не является точкой накопления $ X. $ По определению точки накопления, это означает, что существует $ \ varepsilon> 0 $ такое, что $ X \ cap (B_ \ varepsilon (a) \ smallsetminus \ {a \}) = \ varnothing.$ Так как мы также знаем $ a \ not \ in X, $, мы фактически имеем $ X \ cap B_ \ varepsilon (a) = \ varnothing, $ что эквивалентно $ B_ \ varepsilon (a) \ substeq M \ smallsetminus X. $ ∎

Определение 1.6: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство, и пусть $ X $ — подмножество $ M. $ Определим $ \ overline {X}, $ замыкание $ X, $ как множество, состоящее из всех точек $ X $ вместе с все точки накопления $ X. $

Теорема 1.5: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство, и пусть $ X $ — подмножество $ M. $ Тогда $ \ overline {X} $ замкнуто.

Доказательство: По предыдущей теореме достаточно показать, что $ \ overline {X} $ содержит все свои очки накопления. Итак, предположим, что $ x $ — точка накопления $ \ overline {X}. $ Нам нужно показать $ x \ in \ overline {X}, $, то есть нам нужно показать, что либо $ x \ in X $, либо или $ x $ — это точка накопления $ X. $ Фактически, мы показываем, что $ x $ — это накопление точка X $

Пусть $ \ varepsilon> 0. $ Нам нужно показать, что $ X \ cap (B_ \ varepsilon (x) \ smallsetminus \ {x \}) \ not = \ varnothing.$ Поскольку $ x $ является точкой накопления $ \ overline {X}, $ мы знаем, что $ \ overline {X} \ cap (B _ {\ varepsilon / 2} \ smallsetminus \ {x \}) \ not = \ varnothing. $ Пусть $ y \ in \ overline {X} \ cap (B _ {\ varepsilon / 2} \ smallsetminus \ {x \}). $ Поскольку $ y \ in \ overline {X}, $ либо $ y \ in X $ или $ y $ — это точка накопления $ X. $ В случае, когда $ y $ находится в $ X, $, тогда $ y $ находится в $ X \ cap (B_ \ varepsilon (x) \ smallsetminus \ {x \}) $, и все готово.

Обратимся к случаю, когда $ y $ — точка накопления $ X. $ Пусть $ \ delta = d (x, y).$ Поскольку $ y \ in B _ {\ varepsilon / 2} (x) $ и $ y \ ne x, $ $ \ delta $ больше нуля и меньше $ \ frac {\ varepsilon} {2}. $ Поскольку $ y $ является точкой накопления $ X, $ мы знаем, что $ X \ cap (B_ \ delta (y) \ smallsetminus \ {y \}) \ not = \ varnothing. $ Пусть $ z \ in X \ cap (B_ \ delta (y) \ smallsetminus \ {y \}). $ Тогда $$ \ begin {align *} d (z, x) & \ le d (z, y) + d (y, x) \\ И

Обратите внимание, что если $ C $ — замкнутое подмножество метрического пространства, то тот факт, что $ C $ уже содержит все его точки накопления означают, что $ \ overline {C} = C.$ И если $ X $ — любое подмножество метрического пространства, тот факт, что $ \ overline {X} $ закрыт, означает, что $ \ overline {\ overline {X}} = \ overline {X}. $

Есть еще один вид «пространства», даже более общий, чем метрическое пространство. Топологическое пространство — это пара $ (X, \ cal T) $, где $ \ cal T $ — это набор подмножеств $ X $, удовлетворяющих

1. $ M \ in \ cal T $ и $ \ varnothing \ in \ cal T $;
2. объединение любого набора наборов в $ \ cal T $ снова является набором в $ \ cal T $ и
3. пересечение любого конечного набора множеств в $ \ cal T $ снова есть множество в $ \ cal T.$

Набор $ \ cal T $ подмножеств $ X $ в этом случае называется топология для $ X, $ Теорема 1.2 показывает, что набор открытые множества в метрическом пространстве $ (M, d) $ образуют топологию этого метрического пространства и превратить $ M $ в топологическое пространство. Мы не будем рассматривать здесь топологические пространства, но Иногда я отмечу, что свойство, которое мы определяем для метрических пространств, на самом деле топологическое свойство. Это означает, что свойство можно полностью определить в терминах открытых и закрытых множеств, без упоминания какой-либо метрики.Топологические свойства метрические пространства могут быть расширены до топологических пространств в целом. Например, накопление точки могут быть определены для топологических пространств с помощью альтернативного определения, которое не упоминает метрику: точка $ x $ является точкой накопления $ X $, если каждое открытое set, который содержит $ x $, также содержит некоторую точку $ X $, отличную от самого $ x $. Это означает, что замыкание множества также является топологическим свойством, поскольку оно определяется с точки зрения накопительных баллов.

Упражнения

Упражнение 1.1: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство, и пусть $ x \ in M. $ Покажем, что множество $ \ {x \} $ замкнут в $ (M, d) $, показывая, что его дополнение, $ M \ smallsetminus \ {x \} $ открыто. Сделайте вывод, что любое конечное подмножество метрического пространства замкнуто.

Упражнение 1.2: Рассмотрим метрическое пространство $ (\ R, d). $ Пусть $ A $ — интервал $ [1,2). $ Покажите, что $ A $ не открыт. (Подсказка: рассмотрите открытые шары примерно 1.) И покажите, что $ A $ не закрывается, показав, что его дополнение не открыто.

Упражнение 1.3: Пусть $ (M, d) $ — метрическое пространство.Покажите, что $ M $ можно записать как объединение открытых шаров.

Упражнение 1.4: Рассмотрим метрическое пространство $ (\ R, d). $ Для $ n = 1,2,3, \ dots, $ пусть $ \ cal O_n $ будет открытый набор $ \ cal O_n = \ big (1,1+ \ frac {1} {n} \ big). $ Покажите, что $ \ {\ cal O_n \, | \, n = 1,2, \ dots \} $ — бесконечный набор открытых множества, пересечение которых не открыто. И найдите бесконечный набор замкнутых подмножеств $ (\ R, d) $, объединение которых не замкнуто.

Упражнение 1.5: Пусть $ X $ — произвольное множество, и определим $ \ delta \ Colon X \ times X \ to \ R $ как $ \ delta (a, b) = \ begin {case} 0 & \ text {if} a = b \\ 1 & \ text {if} a \ not = b \ end {cases}.\ delta (x) $? (Обратите внимание, что это означает, что каждое подмножество $ X $ также замкнут в $ (X, \ delta). $)

Упражнение 1.6: Рассмотрим метрическое пространство $ (\ R, d). $ Покажите, что 0 является точкой накопления множества $ X = \ {\ frac {1} {n} \, | \, n = 1,2,3, \ dots \}. $ И покажите, что никакая другая точка $ \ R $ не является точкой накопления $ X. $ (Подсказка: для второй часть, рассмотрим случаи, $ x <0, $ $ x> 1 $ и $ \ frac {1} {n + 1}

Упражнение 1.7: Каково замыкание множества $ X = \ {\ frac {1} {n} \, | \, n = 1,2,3, \ dots \} $ в $ (\ R, d) $? Вам понадобится результат предыдущего упражнения.

Упражнение 1.8: Предположим, что $ X $ — это подмножество метрического пространства $ (M, d) $ и что $ x $ — точка накопления $ X. $ Пусть $ \ varepsilon> 0. $ Из определения точки накопления мы знаем, что $ X \ cap (B_ \ varepsilon (x) \ smallsetminus \ {x \}) $ является непустой. Покажите, что на самом деле $ X \ cap (B_ \ varepsilon (x) \ smallsetminus \ {x \}) $ бесконечно. Подсказка: предположим, ради противоречия, что он конечен, и покажем, как найти другой элемент $ X \ cap (B_ \ varepsilon (x) \ smallsetminus \ {x \}) $, который ближе к $ x $, чем любой из этих конечное количество точек.\ mu (f). $ (Нарисуйте картинки!)

Упражнение 1.10: Предположим, что $ A $ — замкнутое ограниченное подмножество в $ \ R, $, и пусть $ \ lambda $ — наименьшая верхняя граница, $ \ lambda = lub (A) $. Покажите, что $ \ lambda \ in A. $ Подсказка: предположим, для противодействия, что $ \ lambda \ not \ in A, $ и покажем, что в этом случае $ \ lambda $ должна быть точкой накопления $ A. $ (Аналогично, $ A $ содержит свою точную нижнюю границу.)

8.2: Открытые и закрытые множества

Топология

Полезно определить так называемую топологию .То есть мы определяем замкнутые и открытые множества в метрическом пространстве. Прежде чем сделать это, давайте определим два специальных набора.

Пусть \ ((X, d) \) — метрическое пространство, \ (x \ in X \) и \ (\ delta> 0 \). Затем определите открытый шар или просто шар радиуса \ (\ delta \) вокруг \ (x \) как \ [B (x, \ delta): = \ {y \ in X: d (x, y ) <\ delta \}. \] Аналогично мы определяем закрытый шар как \ [C (x, \ delta): = \ {y \ in X: d (x, y) \ leq \ delta \}. \ ]

Когда мы имеем дело с разными метрическими пространствами, иногда удобно подчеркнуть, в каком метрическом пространстве находится мяч.Мы делаем это, записывая \ (B_X (x, \ delta): = B (x, \ delta) \) или \ (C_X (x, \ delta): = C (x, \ delta) \).

Возьмем метрическое пространство \ ({\ mathbb {R}} \) со стандартной метрикой. Для \ (x \ in {\ mathbb {R}} \) и \ (\ delta> 0 \) мы получаем \ [B (x, \ delta) = (x- \ delta, x + \ delta) \ qquad \ текст {и} \ qquad C (x, \ delta) = [x- \ delta, x + \ delta]. \]

Будьте осторожны при работе с подпространством. Предположим, мы берем метрическое пространство \ ([0,1] \) как подпространство в \ ({\ mathbb {R}} \). Тогда в \ ([0,1] \) получаем \ [B (0, \ nicefrac {1} {2}) = B _ {[0,1]} (0, \ nicefrac {1} {2}) = [0, \ nicefrac {1} {2}).\] Это, конечно, отличается от \ (B_

 Стек вызовов:
    в (Книжные полки / Анализ / Книга: _Introduction_to_Real_Analysis_ (Lebl) /08:_Metric_Spaces/8.02:_Open_and_Closed_Sets), / content / body / div [1] / p [5] / span, строка 1, столбец 1
 

Пусть \ ((X, d) \) — метрическое пространство. Набор \ (V \ subset X \) равен открытым , если для каждого \ (x \ in V \) существует \ (\ delta> 0 \) такое, что \ (B (x, \ delta) \ subset V \).c = X \ setminus E \) открыто. Когда окружающее пространство \ (X \) не ясно из контекста, мы говорим, что \ (V \) открыто в \ (X \), а \ (E \) закрыто в \ (X \).

Если \ (x \ in V \) и \ (V \) открыто, то мы говорим, что \ (V \) — это открытая окрестность \ (x \) (или иногда просто окрестность ).

Интуитивно понятно, что открытый набор — это набор, который не включает свою «границу». Обратите внимание, что не каждый набор является открытым или закрытым, на самом деле, как правило, большинство подмножеств таковыми не являются.

Множество \ ([0,1) \ subset {\ mathbb {R}} \) не является ни открытым, ни закрытым.Во-первых, каждый шар в \ ({\ mathbb {R}} \) вокруг \ (0 \), \ ((- \ delta, \ delta) \) содержит отрицательные числа и, следовательно, не содержится в \ ([0,1 ) \) и поэтому \ ([0,1) \) не открыто. Во-вторых, каждый шар в \ ({\ mathbb {R}} \) вокруг \ (1 \), \ ((1- \ delta, 1 + \ delta) \) содержит числа строго меньше 1 и больше 0 (например, \ (1- \ nicefrac {\ delta} {2} \) до тех пор, пока \ (\ delta <2 \)). Таким образом, \ ({\ mathbb {R}} \ setminus [0,1) \) не открыто, а значит, \ ([0,1) \) не закрыто.

[prop: topology: open] Пусть \ ((X, d) \) метрическое пространство.k V_j \] также открыто. То есть конечное пересечение открытых множеств открыто.

Обратите внимание, что индекс, установленный в [topology: openiii], произвольно велик. Под \ (\ bigcup _ {\ lambda \ in I} V_ \ lambda \) мы просто подразумеваем набор всех \ (x \) таких, что \ (x \ in V_ \ lambda \) по крайней мере для одного \ (\ lambda \ в I \).к V_j \). Таким образом, перекресток открыт.

Докажем [топология: openiii]. Если \ (x \ in \ bigcup _ {\ lambda \ in I} V_ \ lambda \), то \ (x \ in V_ \ lambda \) для некоторого \ (\ lambda \ in I \). Поскольку \ (V_ \ lambda \) открыто, существует \ (\ delta> 0 \) такое, что \ (B (x, \ delta) \ subset V_ \ lambda \). Но тогда \ (B (x, \ delta) \ subset \ bigcup _ {\ lambda \ in I} V_ \ lambda \), и поэтому объединение открыто.

Главное, на что следует обратить внимание, — это различие между элементами [топология: openii] и [топология: openiii].\ infty (- \ nicefrac {1} {n}, \ nicefrac {1} {n}) = \ {0 \} \), который не открыт.

Доказательство следующего аналогичного предложения для замкнутых множеств оставлено в качестве упражнения.

[prop: topology: closed] Пусть \ ((X, d) \) метрическое пространство.

1. [топология: закрытая] \ (\ emptyset \) и \ (X \) замкнуты в \ (X \).
2. [топология: closedii] Если \ (\ {E_ \ lambda \} _ {\ lambda \ in I} \) — произвольный набор замкнутых множеств, то \ [\ bigcap _ {\ lambda \ in I} E_ \ lambda \ ] тоже закрыто.k E_j \] также замкнуто. То есть конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.

Мы еще не показали, что открытый шар открыт, а закрытый шар закрыт. Покажем этот факт сейчас, чтобы оправдать терминологию.

[prop: topology: ballsopenclosed] Пусть \ ((X, d) \) будет метрическим пространством, \ (x \ in X \) и \ (\ delta> 0 \). Тогда \ (B (x, \ delta) \) открыто и \ (C (x, \ delta) \) закрыто.

Пусть \ (y \ in B (x, \ delta) \). Пусть \ (\ alpha: = \ delta-d (x, y) \). Конечно \ (\ alpha> 0 \).Теперь пусть \ (z \ in B (y, \ alpha) \). Тогда \ [d (x, z) \ leq d (x, y) + d (y, z)

Доказательство замкнутости \ (C (x, \ delta) \) остается в качестве упражнения.

Опять же, будьте осторожны с окружающим метрическим пространством. Поскольку \ ([0, \ nicefrac {1} {2}) \) — открытый шар в \ ([0,1] \), это означает, что \ ([0, \ nicefrac {1} {2}) \ ) — открытое множество в \ ([0,1] \).С другой стороны, \ ([0, \ nicefrac {1} {2}) \) не является ни открытым, ни закрытым в \ ({\ mathbb {R}} \).

Полезный способ думать об открытом множестве — это объединение открытых шаров. Если \ (U \) открыто, то для каждого \ (x \ in U \) существует \ (\ delta_x> 0 \) (конечно, в зависимости от \ (x \)) такое, что \ (B (x , \ delta_x) \ подмножество U \). Тогда \ (U = \ bigcup_ {x \ in U} B (x, \ delta_x) \).

Доказательство следующего предложения оставлено в качестве упражнения. Обратите внимание, что в \ ({\ mathbb {R}} \) есть другие открытые и закрытые множества.

[опора: топология: интервалы: открыто-закрыто] Пусть \ (a

Связанные комплекты

Непустое метрическое пространство \ ((X, d) \) связно , если единственные подмножества, которые одновременно открыты и закрыты, — это \ (\ emptyset \) и \ (X \).

Когда мы применяем термин , связанный к непустому подмножеству \ (A \ subset X \), мы просто подразумеваем, что \ (A \) с топологией подпространства связан.

Другими словами, непустой \ (X \) связан, если всякий раз, когда мы пишем \ (X = X_1 \ cup X_2 \), где \ (X_1 \ cap X_2 = \ emptyset \) и \ (X_1 \) и \ (X_2 \) открыты, то либо \ (X_1 = \ emptyset \), либо \ (X_2 = \ emptyset \). Итак, чтобы проверить несвязность, нам нужно найти непустые непересекающиеся открытые множества \ (X_1 \) и \ (X_2 \), объединение которых равно \ (X \). Для подмножеств мы формулируем эту идею как предложение.

Пусть \ ((X, d) \) — метрическое пространство. Непустое множество \ (S \ subset X \) не связно тогда и только тогда, когда существуют открытые множества \ (U_1 \) и \ (U_2 \) в \ (X \) такие, что \ (U_1 \ cap U_2 \ cap S = \ emptyset \), \ (U_1 \ cap S \ not = \ emptyset \), \ (U_2 \ cap S \ not = \ emptyset \) и \ [S = \ bigl (U_1 \ cap S \ bigr) \ чашка \ bigl (U_2 \ cap S \ bigr).\]

Если \ (U_j \) открыт в \ (X \), то \ (U_j \ cap S \) открыт в \ (S \) в топологии подпространства (с метрикой подпространства). Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если \ (B_X (x, \ delta) \ subset U_j \), то как \ (B_S (x, \ delta) = S \ cap B_X (x, \ delta) \), мы имеем \ (B_S (x, \ delta) \ подмножество U_j \ cap S \). Доказательство следует из приведенного выше обсуждения.

Доказательство другого направления следует из использования для нахождения \ (U_1 \) и \ (U_2 \) из двух открытых непересекающихся подмножеств \ (S \).

Пусть \ (S \ subset {\ mathbb {R}} \) таково, что \ (x

Множество \ (S \ subset {\ mathbb {R}} \) связано тогда и только тогда, когда оно является интервалом или единственной точкой.

Предположим, что \ (S \) связно (а значит, и непусто). Если \ (S \) — единственная точка, то все готово. Итак, предположим, что \ (x

Предположим, что \ (S \) ограничена, связна, но не является единственной точкой. Пусть \ (\ alpha: = \ inf S \) и \ (\ beta: = \ sup S \) и обратите внимание, что \ (\ alpha <\ beta \). Предположим, \ (\ alpha z \). Выше мы показали, что \ (z \ in S \), поэтому \ ((\ alpha, \ beta) \ subset S \).Если \ (w <\ alpha \), то \ (w \ notin S \), поскольку \ (\ alpha \) был инфимумом, аналогично, если \ (w> \ beta \), то \ (w \ notin S \). Следовательно, единственные возможности для \ (S \): \ ((\ alpha, \ beta) \), \ ([\ alpha, \ beta) \), \ ((\ alpha, \ beta] \), \ ([ \ alpha, \ beta] \).

Доказательство того, что неограниченная связная \ (S \) является интервалом, оставлено как упражнение.

С другой стороны, предположим, что \ (S \) — интервал. Предположим, что \ (U_1 \) и \ (U_2 \) — открытые подмножества \ ({\ mathbb {R}} \), \ (U_1 \ cap S \) и \ (U_2 \ cap S \) непусты и \ (S = \ bigl (U_1 \ cap S \ bigr) \ cup \ bigl (U_2 \ cap S \ bigr) \).Мы покажем, что \ (U_1 \ cap S \) и \ (U_2 \ cap S \) содержат общую точку, поэтому они не пересекаются, а значит, \ (S \) должен быть связным. Предположим, что есть \ (x \ in U_1 \ cap S \) и \ (y \ in U_2 \ cap S \). Можно считать, что \ (x x \), то для любого \ (\ delta> 0 \) шар \ (B (z, \ delta) = (z- \ delta, z + \ delta) \) содержит точки, которых нет в \ (U_2 \), и поэтому \ (z \ notin U_2 \) как \ (U_2 \) открыто.Следовательно, \ (z \ in U_1 \). Поскольку \ (U_1 \) открыто, \ (B (z, \ delta) \ subset U_1 \) для достаточно маленького \ (\ delta> 0 \). Поскольку \ (z \) является точной гранью \ (U_2 \ cap [x, y] \), должно существовать некоторое \ (w \ in U_2 \ cap [x, y] \) такое, что \ (w \ in [ z, z + \ delta) \ subset B (z, \ delta) \ subset U_1 \). Следовательно, \ (w \ in U_1 \ cap U_2 \ cap [x, y] \). Итак, \ (U_1 \ cap S \) и \ (U_2 \ cap S \) не пересекаются, и, следовательно, \ (S \) связно.

Во многих случаях шар \ (B (x, \ delta) \) связан. Но это не обязательно верно для любого метрического пространства.В качестве простейшего примера возьмем двухточечное пространство \ (\ {a, b \} \) с дискретной метрикой. Тогда \ (B (a, 2) = \ {a, b \} \), что не связано как \ (B (a, 1) = \ {a \} \) и \ (B (b, 1) = \ {b \} \) открыты и не пересекаются.

Закрытие и граница

Иногда мы хотим взять набор и бросить туда все, что мы можем подойти из набора. Эта концепция называется закрытием.

Пусть \ ((X, d) \) — метрическое пространство и \ (A \ subset X \). Тогда закрытие \ (A \) является набором \ [\ overline {A}: = \ bigcap \ {E \ subset X: \ text {$ E $ замкнутым и $ A \ subset E $} \} .\] То есть \ (\ overline {A} \) — это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих \ (A \).

Пусть \ ((X, d) \) — метрическое пространство и \ (A \ subset X \). Замыкание \ (\ overline {A} \) закрыто. Кроме того, если \ (A \) замкнуто, то \ (\ overline {A} = A \).

Во-первых, замыкание — это пересечение замкнутых множеств, поэтому оно замкнуто. Во-вторых, если \ (A \) замкнуто, то возьмем \ (E = A \), следовательно, пересечение всех замкнутых множеств \ (E \), содержащих \ (A \), должно быть равно \ (A \).

Замыкание \ ((0,1) \) в \ ({\ mathbb {R}} \) равно \ ([0,1] \).Доказательство: просто обратите внимание, что если \ (E \) замкнуто и содержит \ ((0,1) \), то \ (E \) должен содержать \ (0 \) и \ (1 \) (почему?). Таким образом, \ ([0,1] \ subset E \). Но \ ([0,1] \) тоже замкнуто. Следовательно, замыкание \ (\ overline {(0,1)} = [0,1] \).

Обратите внимание, с каким окружающим метрическим пространством вы работаете. Если \ (X = (0, \ infty) \), то замыкание \ ((0,1) \) в \ ((0, \ infty) \) равно \ ((0,1] \). Доказательство : Как и выше, \ ((0,1] \) замкнуто в \ ((0, \ infty) \) (почему?). Любое замкнутое множество \ (E \), содержащее \ ((0,1) \) должен содержать 1 (почему?).Следовательно, \ ((0,1] \ subset E \) и, следовательно, \ (\ overline {(0,1)} = (0,1] \) при работе в \ ((0, \ infty) \).

Обоснуем утверждение, что замыкание — это все, к чему мы можем «приблизиться» из множества.

[prop: msclosureappr] Пусть \ ((X, d) \) будет метрическим пространством и \ (A \ subset X \). Тогда \ (x \ in \ overline {A} \) тогда и только тогда, когда для каждого \ (\ delta> 0 \), \ (B (x, \ delta) \ cap A \ not = \ emptyset \).

Докажем два контрапозитива. Покажем, что \ (x \ notin \ overline {A} \) тогда и только тогда, когда существует \ (\ delta> 0 \) такое, что \ (B (x, \ delta) \ cap A = \ emptyset \) .c} \).

Упражнения

Доказать. Подсказка: рассмотрите дополнения наборов и примените.

Закончите доказательство, доказав, что \ (C (x, \ delta) \) замкнуто.

Доказать.

Предположим, что \ ((X, d) \) — непустое метрическое пространство с дискретной топологией. Покажите, что \ (X \) связан тогда и только тогда, когда он содержит ровно один элемент.

Покажите, что если \ (S \ subset {\ mathbb {R}} \) — связное неограниченное множество, то это (неограниченный) интервал.

Покажите, что каждое открытое множество можно записать как объединение замкнутых множеств.\ circ \).

Пусть \ (X \) — множество, а \ (d \), \ (d ‘\) — две метрики на \ (X \). Предположим, что существует \ (\ alpha> 0 \) и \ (\ beta> 0 \) такие, что \ (\ alpha d (x, y) \ leq d ‘(x, y) \ leq \ beta d (x , y) \) для всех \ (x, y \ in X \). Покажите, что \ (U \) открыто в \ ((X, d) \) тогда и только тогда, когда \ (U \) открыто в \ ((X, d ‘) \). То есть топологии \ ((X, d) \) и \ ((X, d ‘) \) одинаковы.

Предположим, что \ (\ {S_i \} \), \ (i \ in {\ mathbb {N}} \) — это набор связных подмножеств метрического пространства \ ((X, d) \).2 \).

Определение открытых множеств в следующем упражнении обычно называется топологией подпространства . Вас просят показать, что мы получаем ту же топологию, рассматривая метрику подпространства.

[упражнение: mssubspace] Предположим, что \ ((X, d) \) — метрическое пространство и \ (Y \ subset X \). Покажите, что с метрикой подпространства на \ (Y \) множество \ (U \ subset Y \) открыто (в \ (Y \)) всякий раз, когда существует открытое множество \ (V \ subset X \) такое, что \ (U = V \ cap Y \).

Пусть \ ((X, d) \) — метрическое пространство.\ circ = \ bigcup \ {V: V \ subset A \ text {is open} \} \).

Авторы и авторство

Почему понимание разницы между открытой и закрытой системами может привести к успеху трансформации

Поделитесь этой страницей со своими коллегами!

Является ли преобразование эвфемизмом для обозначения изменений? Это «смена стероидов»? Решили ли мы, что изменение — ругательное слово, и если мы используем слово «преобразование», оно застает людей врасплох?

Слова имеют силу — в этом нет сомнений.Слово «преобразование» вызывает в памяти следующие слова:

«Новое изобретение — это не изменение того, что есть, а создание того, чем не является. Бабочка — это не более гусеница, не лучшая или улучшенная гусеница; бабочка — другое существо ». ¹

Теория систем ² вносит значительный вклад в любое обсуждение трансформации. Тот факт, что система стремится к равновесию, объясняет, почему организации кажутся устойчивыми к изменениям.

Теория систем определяет особенности, общие для всех систем.Поскольку живые системы (в отличие от тех, которые атрофируются и умирают) находятся в постоянном состоянии изменения, возможно, под «трансформацией» мы подразумеваем:

• конструктивное изменение, в отличие от естественных приливов и отливов естественных систем
• изменение, которое является преднамеренным, а не реактивным, случайным или эволюционным, которое может занять слишком много времени и привести к исчезновению некоторых «видов».

Поскольку живые системы, которые не меняются, умирают, акцент в организациях (живых системах) может быть обращен на поиск способов оставаться адаптивными, гибкими и ориентированными на будущее — все три поддерживаются цифровым прогрессом.Когда эти три элемента являются отправной точкой, маловероятно, что организация испытает возмущение (беспокойство) во время изменений.

Открытые и закрытые системы

Успех или неудача трансформации могут быть столь же простыми, как то, является ли система (организация, бизнес-подразделение, команда, отдельный человек) открытой, или закрытой. (С физической точки зрения конечность, которая закрыта от притока свежей крови, становится гангренозной, умирает и должна быть ампутирована — это похоже на отдел или отдельное лицо в организациях, которые вы знаете?)

Этот список функций может быть применен к любой системе, включая социальную, например к организациям.

В закрытой системе:

• взаимодействия происходят только между элементами в системе
• границы жесткие, ограничивающие приток или отток (обмен) информации или материи
• снижение организации (стагнация)
• энтропия (распад) — конечный результат

Противоположность энтропии — это эволюция.

Открытая система:

• Постоянно получает входные данные из своей среды (хост-системы)
• Непрерывно производит вывод в свою среду (хост-систему)
• Развивается в результате этих обменов — новая информация стимулирует адаптацию, обновление и переосмысление
• Целое — это больше, чем сумма частей (именно так часто описываются высокопроизводительные команды)

Эти функции предоставляют полезные контрольные списки для организаций (или бизнес-единиц, команд или отдельных лиц), чтобы знать, на каком пути они находятся и где предпринять действия для улучшения адаптации для выживания (или, что лучше, процветания) посредством трансформации.

Системы, готовые к трансформации

Из приведенных выше характеристик ясно, что трансформирующиеся, готовые к изменениям культуры открыты, искусны и гибки. Вот как это определить в организациях:

• Люди широко и непрерывно задают вопросы и слушают
• Департаменты запрашивают отзывы у других департаментов, которые полагаются на их услуги, прислушиваясь к отзывам, чтобы быть более полезными для этих групп
• Люди собирают отзывы о своей работе от тех, с кем они работают
• Роли и обязанности меняются с учетом требований ситуации
• Часто встречаются перекрестные ссылки на то, что спецификации все еще действительны
• Люди честны друг с другом
• Священных коров нет
• Всем движет успешная доставка — общие, а не противоречивые цели
• Люди действуют, чтобы повысить общую репутацию группы в плане оперативности
• Интенсивное сотрудничество между командами

Используйте этот список, чтобы определить, насколько вероятно, что организация успешно проведет процесс трансформации или подавит его до смерти.

Если организация использует это как лакмусовую бумажку и выполняет необходимую работу, которую он подчеркивает, программы трансформации с гораздо большей вероятностью будут успешными.

Где начинается и заканчивается трансформация?

Если успешная трансформация начинается с готовности к изменениям, открытого и адаптивного состояния, и каждая система организации ставит под угрозу подразделения, команды и отдельных лиц, из этого следует, что успех трансформации начинается с требования, чтобы каждый человек был открытым, адаптивным и ориентированным на будущее.Если сделать развитие этого мышления ключевым приоритетом, организация будет готова к изменениям.

Перекалибровка Организации до «преобразовательной» в качестве состояния по умолчанию

Вот что нужно для трансформации организации, бизнес-подразделения, команды и / или отдельного лица:

• Осознайте, что человеческое состояние синонимично изменению. (Люди сопротивляются не трансформации, а переменам, которые кажутся произвольными и навязанными большинству меньшинством, не имеющим смысла.)
• Обучайте и информируйте так, чтобы все понимали бизнес-контекст — один источник истины — для непрерывного добавления ценности. В этом общем контексте решения имеют смысл.
• Выделяйте проблемы, чтобы все понимали ограничения и угрозы (проверка реальности), чтобы все участвовали в поиске решения. Примечание. Посмотрите, как одна группа бизнес-лидеров провела свою организацию в драматических обстоятельствах. ³
• Обучайте людей тому, как сохранять ценный и постоянно развивающийся вклад.Примечание: посмотрите, как Ральф Стайер, основатель Johnsonville Sausage, научился позволять своим работникам руководить. ⁴
• Когда вы наезжаете на лежачий полицейский, постоянно общайтесь. Путешествуйте в команде.
• Настаивайте на открытости, оперативности и постоянном совершенствовании как на важнейших элементах выживания организации — коллективное обязательство.

Семена успеха трансформации посеяны задолго до начала трансформации.

Источники:

¹ «Новое изобретение американских горок: рискуя настоящим ради мощного будущего» Трейси Госс, Ричард Т.Паскаль и Энтони Атос. https://hbr.org/1993/11/the-reinvention-roller-coaster-risking-the-present-for-a-powerful-future

² Теория систем принадлежит биологу Людвигу фон Берталанфи. См. Дэвида Валоника, доктора философии. Общая теория систем http://www.statpac.org/walonick/systems-theory.htm

³ «О коробках, пузырях и эффективном управлении» Дэвида Херста. HBR. Май 1984 г. https://hbr.org/1984/05/of-boxes-bubbles-and-effective-management

⁴ «Как я научился позволять своим работникам руководить» Ральфа Стайера.HBR. Ноябрь-декабрь 1990 г.

Об авторе:

Научный сотрудник института

Черри Холланд — специалист по производительности и изменениям, который последние 20 лет уделяет особое внимание «партнерскому подходу» к успеху в бизнесе. Под влиянием лидеров, управляющих успешным бизнесом, управляемым персоналом, она избавила сотни групп от укоренившихся методов работы и превратила их в самоуправление, высокую производительность и непрерывность.

Ее клиенты, описанные как коммерчески подкованные, привлекательные и вдохновляющие, неизменно заявляли, что их высокие ожидания в отношении результатов изменений превзошли.

Черри вместе с руководителями проводит трансформацию всей организации с целью развития культуры высокой производительности, ориентированной на сотрудников. Она совместно с людьми разрабатывает решения, избегая естественного сопротивления навязываемым извне моделям (что приводит к дорогостоящему провалу программ изменений). Опираясь как на нейробиологию, так и на нейромаркетинг, она мобилизует неиспользованные резервы для положительного ответа на давление рынка и / или технологический прорыв.