Площадь сечения размерность – Геометрические характеристики плоских сечений — Лекции и примеры решения задач технической механики

Содержание

Лекция № 2

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).

Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции Jp называют характеристику

J p = Jz + J y .

С другой стороны,

J p = Jz + J y = ∫y2 dA +∫z2 dA = ∫(y2 + z2 ) dA = ∫ρ2 dA.

A A A A

Полярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний (ρ2 = y2 + z2 ) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Размерность моментов инерции – м4 в СИ.

Момент сопротивления Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная мо-

менту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (ymax или zmax) до наиболее удаленной от этой оси точки

W =

J

z

; W

=

J y

.

 

 

 

z

ymax

y

 

zmax

 

 

 

 

 

Размерность моментов сопротивления – м3 в СИ.

Радиус инерции Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величи-

на, определяемая из соотношения:

iz =

J

z

,

iy =

J y

.

A

A

 

 

 

 

Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.

Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E. В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E=E(z, y). Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения

6.1. Статический момент площади сечения



6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус. Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю. Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной. Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади с его положением в координатной системе моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести состав- ной фигуры: Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры. Решение Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины. Координаты центров тяжести и площади простых фигур Статические моменты площадей простых фигур Координаты центра тяжести составной фигуры Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте. Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.

Лекция № 2

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).

Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции Jp называют характеристику

J p = Jz + J y .

С другой стороны,

J p = Jz + J y = ∫y2 dA +∫z2 dA = ∫(y2 + z2 ) dA = ∫ρ2 dA.

A A A A

Полярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний (ρ2 = y2 + z2 ) до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Размерность моментов инерции – м4 в СИ.

Момент сопротивления Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная мо-

менту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (ymax или zmax) до наиболее удаленной от этой оси точки

W =

J

z

; W

=

J y

.

 

 

 

z

ymax

y

 

zmax

 

 

 

 

 

Размерность моментов сопротивления – м3 в СИ.

Радиус инерции Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величи-

на, определяемая из соотношения:

iz =

J

z

,

iy =

J y

.

A

A

 

 

 

 

Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.

Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E. В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E=E(z, y). Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения

Геометрические характеристики плоских сечений — Лекции и примеры решения задач технической механики

При расчете элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость приходится кроме общеизвестной характеристики – площади поперечного сечения A, оперировать такими геометрическими характеристиками сечений, как статический момент площади, момент инерции, момент сопротивления, радиус инерции.

Статический момент площади

Интегралы вида:

называются статическими моментами площади сечения A относительно осей X и Y соответственно.

В тех случаях, когда сечение может быть разделено на простейшие фигуры площади Ai и координаты центров тяжести xi и yi которых известны, статические моменты площади сложной фигуры определяются через суммирование

Статические моменты площади имеют размерность [м3] и могут принимать любые числовые значения. Для осей XC, YC, проходящих через центр тяжести сечения C (центральные оси), статические моменты равны нулю:

Координаты центров тяжести сечения определяются относительно так называемых вспомогательных осей по формулам:

Если сечение имеет ось симметрии, то центр тяжести находится на этой оси и его положение определяется одной координатой.

При наличии двух и более осей симметрии центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Моменты инерции

Моментами инерции площади сечения называют интегралы вида:

где:
Ix, Iy — осевые моменты инерции площади сечения относительно осей OX, OY соответственно;
Ixy — центробежный момент инерции;
Iρ — полярный момент инерции.

Размерность момента инерции [м4], Ix, Iy, I ρ всегда положительны, Ixy может принимать любые значения, при этом, если хотя бы одна из осей является осью симметрии, I

xy=0.

Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей выражаются формулами:

где a, b – расстояния между осями X, XC и Y, YC.

Оси, относительно которых Ixy=0, называют главными, а осевые моменты инерции относительно них – главными моментами инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями, а соответствующие им моменты инерции – главными центральными моментами инерции.

Главные оси характерны тем, что их моменты инерции принимают экстремальные значения (Imax, Imin).

Момент инерции сложного сечения относительно какой-либо оси находится суммированием моментов инерции составляющих его частей относительно той же оси:

Радиусы инерции

Величины

называют радиусами инерции сечения относительно осей OX и OY соответственно.

Эллипс, построенный в главных осях, с полуосями, равными главным радиусам инерции

называют эллипсом инерции.

Лекции по сопромату >
Примеры решения задач >


Геометрические характеристики плоских сечений

К геометрическим характеристикам попереченных сечений относятся:

— статические моменты площади сечения ()

— осевые моменты инерции ()

— центробежный момент инерции ()

— полярный момент инерции ()

— моменты сопротивления ()

— радиусы инерции ().

Рассмотрим поперечное сечение бруса в системе координат х0у.

Выделим элементарную площадку dA координатами х и у.

На основании теоремы Вариньона (из курса теоретической механики):

Где — координаты центра тяжести фигуры.

— площадь фигуры.

Статический момент равен сумме произведений элементарных площадок на расстояние от центра тяжести этих площадок до оси, относительно которой он подсчитывается.

Статический момент измеряется в или. (-), (+), (=0).

При параллельном переносе осей значения статических моментов не остаются постоянными, а изменяются и могут иметь как положительное, так и отрицательное значение.

Это значит, что среди семейства параллельных осей существует единственная ось, относительно которой статический момент равен нулю.

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной.

Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Статический момент инерции применяется для определения координат центр тяжести простых и сложных фигур:

Осевой момент инерции равен сумме произведений элементарных площадок на квадрат расстояния от центра тяжести этих площадок до оси, относительно которой подсчитывается:

Измеряется в ,, (+).

Центральный момент инерции – момент инерции, взятый относительно центральной оси.

Главные центральные оси – оси, исходящие из центра тяжести всей фигуры.

Если всю фигуру или ее часть перемещать вдоль оси, то значение момента инерции не изменится.

Центробежный момент инерции – равен сумме произведений элементарных площадок до осей, относительно которых он подсчитывается:

Если одна из осей сортамента является осью симметрии, то в этом случае центробежный момент инерции равен 0.

При повороте осей на центробежный момент инерции меняет свой знак на противоположный.

Измеряется в ,, (+), (-), (=0).

Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции:

Полярным моментом инерции называется момент инерции относительно оси, проходящей через полюс под прямым углом к плоскости фигуры:

Измеряется в ,, (+).

Моменты инерции относительно параллельных осей

Пусть моменты инерции относительно осейи, проходящих через центр тяжести фигуры, нам известны.

Необходимо определить моменты инерции относительно новых осей и, проходящих параллельно осямина расстояниии.

Найдем, например, момент инерции относительно новой оси :

Во втором слагаемом , т.к. осьпроходит через центр тяжести фигуры, тогда:

аналогично

Следовательно, момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Центробежный момент инерции равен центробежному моменту инерции относительно центральных осей плюс произведение площади данной фигуры на расстояния между параллельными осями.

Моменты инерции при повороте осей

Будем считать, что моменты инерции относительно осей и, проходящих через центр тяжести фигуры, нам известны.

Необходимо определить моменты инерции относительно новых осей и, проходящих под угломк осями.

При повороте осей координаты точек меняются по формулам:

и

Относительно новых осей формулы моментов инерции имеют вид:

, ,

Подставив и проинтегрировав значения и, получим:

Главные оси и главные моменты инерции

Понятие о радиусе инерции

Главными осями инерции плоской фигуры называются оси, отвечающие следующим требованиям:

  1. Они должны проходить через центр тяжести все фигуры.

  2. Относительно этих осей моменты инерции должны иметь экстремальный значения.

  3. Центробежный момент инерции относительно этих осей всегда равен нулю.

Главными моментами инерции – моменты инерции определяемые относительно

главных осей.

Угол поворота главных осей инерции:

Для этого необходимо: ,

тогда тогда

, т.е. существуют две взаимно перпендикулярные оси.

Радиусы инерции определяются по формулам:

Эллипс, построенный на полуосях равных радиусам инерции, называется эллипсом инерции.

Эллипс инерции строят для того, чтобы можно было судить о жесткости поперечного сечения. Радиус инерции всегда больше центра тяжести.

Моменты сопротивления: ;

— расстояние от центра тяжести всей фигуры до наиболее удаленных точек.

Моменты инерции сложных фигур

В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры.

Для стандартных поперечных сечений стержней – уголков равнополочных и неравнополочных, двутавровых сечений и т.д. – моменты инерции относительно различных осей даны в таблице ГОСТ. В этих таблицах также даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.

При вычислении моментов инерции сложных сечений их можно разбить на отдельные простые фигуры, моменты инерции которых известны.

Дальнейший расчет ведут в следующем порядке:

  1. Определяют положение центра тяжести сечения, а следовательно, и главных центральных осей.

  2. Вычисляют (или берут из ГОСТ) значения моментов инерции отдельных частей сечения относительно собственных центральных осей, которые параллельны главным центральным осям всего сечения.

  3. Вычисляют моменты инерции частей, составляющих сечение, относительно его главных центральных частей.

  4. Определяют главные центральные моменты инерции всего сечения путем суммирования для каждой из главных осей величин.

Таким образом, при вычислении моментов инерции составных

сечений пользуются правилом: момент инерции сечения относительно данной оси равен сумме моментов инерции составляющих это сечение частей относительно той же оси.

Это правило вытекает из известного свойства определенного интеграла:

Интеграл суммы нескольких слагаемых равен сумме интегралов этих слагаемых.

Условие и порядок выполнения работы

  1. Вычертить в масштабе заданное поперечное сечение балки на миллиметровой бумаге, провести все вспомогательные оси. Выписать из ГОСТов требуемые величины и размеры, привязав их к центральным осям каждой фигуры выполненного чертежа. Основные размеры проставить также на чертеже.

  1. Определить положение центра тяжести всей фигуры, применив для этого статические моменты плоских фигур. В качестве вспомогательных осей целесообразно выбрать центральные оси одной из фигур. Провести на чертеже через найденный центр тяжести параллельно прежним осям центральные оси все фигуры.

  1. Найти осевые моменты инерции и центробежный момент инерции всей фигуры относительно ее центральных осей.

  1. Определить моменты сопротивления фигуры относительно этих центральных осей.

  1. Найти положение главных центральных осей фигуры и провести их на чертеже. На чертеже показать также угол поворота главных центральных осей инерции по отношению к прежним осям и его направление.

  1. Найти моменты сопротивления фигуры относительно главных центральных осей инерции. При этом расстояние от осей до наиболее удаленных точек фигуры допускается определять графически.

  1. Определить радиусы инерции фигуры относительно главных центральных осей и по ним построить эллипс инерции.

  1. Произвести проверку расчетов.

  1. Исходные данные для решения задания (вариант) берутся из табл. 1.

Таблица 1

Читать книгу Сопротивление материалов. Шпаргалка для студентов Романа Сиренко : онлайн чтение

22. Статический момент сечения

Расчеты на прочность показывают, что напряжение и деформации, возникающие в твердом теле, зависят от внутренних силовых факторов и геометрических характеристик поперечного сечения. При растяжении, например, напряжение зависит от площади поперечного сечения, и, так как напряжение в этом случае распределяется по сечению равномерно, не зависит от формы сечения. При кручении напряжения зависят от размеров и формы сечения из-за неравномерного распределения напряжений. В расчетные формулы бруса при кручении входят полярный момент инерции Ip и полярный момент сопротивления Wp – геометрические характеристики сечения. Проводя расчеты на прочность бруса при изгибе, необходимо знать моменты инерции и моменты сопротивления сечения относительно осей, проходящих через центр тяжести бруса. Возьмем для рассмотрения некоторое сечение бруса площадью A и ось, проходящую через центр тяжести этого тела. Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси x называется сумма произведений площадей элементарных площадок, из которых состоит сечение, на расстояния этих площадок до оси, проходящей через центр тяжести. Аналогично для оси y.


Статический момент измеряется в кубических метрах. Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю в зависимости от выбранной оси. Если известны статические моменты и площадь сечения, то координаты центра тяжести могут быть определены как отношение статического момента к площади поперечного сечения. И наоборот, если координаты центра тяжести сечения известны – xc, yc, статический момент равен произведению площади сечения на расстояния от центра тяжести до оси.

Sx = Ayc

Sy = Axc

Из полученных соотношений видно, что в случае, когда ось проходит через центр тяжести, статический момент равен нулю.

В случае, когда сечение можно рассматривать как n-ное количество составляющих частей с известными площадями Ai и координатами центров тяжести xi, yi, положение всего центра тяжести можно определить как сумму произведений:


Каждое слагаемое в числителе определяет статический момент данного участка относительно выбранной оси.

23. Момент инерции сечения

Осевым (или экваториальным) моментом инерции плоского сечения относительно некоторой оси x называется сумма произведений площадей элементарных площадок, из которых состоит сечение на квадрат расстояния этих площадок до оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, осевые моменты представляют собой интегралы по всей площади сечения.


Полярным моментом инерции относительно некоторой точки (полюса) называется сумма произведений площадей элементарных площадок, из которых состоит сечение, на квадрат расстояния этих площадок до выбранной точки.


Центробежным моментом инерции относительно некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется сумма произведений элементарных площадок, из которых состоит сечение, на расстояния этих площадок до этих осей.


Моменты инерции измеряются в м4. Осевые и полярный моменты инерции могут быть только положительными, так как при любом знаке координаты в формуле берется квадрат этой координаты. Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки, где эти оси пересекаются.

Iρ = Ix +Iy

Действительно, ρ – это расстояние от элементарной площадки сечения до некоторой точки, он определяется как гипотенуза треугольника со сторонами x и y.

ρ2 = x2 + y2

Подставим это соотношение в выражение для полярного момента инерции и получим:


24. Моменты инерции простых сечений

Рассмотрим моменты инерции некоторых простых фигур.

Круг. Iρ = Ix +Iy. Так как круг – симметричная фигура, то Ix= Iy. Следовательно, Iρ = 2Ix. Исходя из определения полярного момента инерции и соотношения для полярного момента инерции и осевых моментов инерции в случае круга имеем:


Для кольца диаметром d и внутренним диаметром d0


Полукруг. Главные центральные оси представляют собой ось симметрии этого полукруга и перпендикулярную ей ось. Для полукруга момент инерции в два раза меньше, чем момент инерции круга для той же самой оси. Если обозначить x1 ось основания, то


Из соотношения, связывающего моменты инерции параллельных осей, одна из которых является центральной, и, зная значение ординаты центра тяжести полукруга yc ≈ 0.424r можно определить моменты инерции полукруга:


Прямоугольник. Определим момент инерции Ix1, совпадающий с основанием прямоугольника, и рассмотрим сечение A как сумму элементарных прямоугольников шириной b и высотой dy1, A = bdy1


Для моментов инерции параллельных осей, одна из которых является центральной, Ix = Ix1 – a2A. В данном случае расстояние a = h / 2, A = bh, момент инерции относительно осей x и y

Ix = bh3 / 12

Iy = hb3 / 12

В частном случае квадрата

Ix = Iy = b4 / 12

Для треугольника вычислим момент инерции Ix1, относительно оси x1, совпадающей с основанием, и для этого рассмотрим сечение как сумму элементарных прямоугольников шириной b. После выполнения математических преобразований найдем значение Ix= bh3 / 12. Момент инерции относительно центральной оси равен Ix = Ix1 a2b, в данном случае a = h / 3, A = (1 / 2)bh. В итоге получим:

Ix = bh3 / 12 – (h / 3)3(1 / 2)bh = bh3 / 36

В общем случае ось x не является главной и

Iy = bh3 / 48

25. Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Установим зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых является центральной. Для этого рассмотрим сечение площадью А. (Рис. 10) Предположим, что известны координаты центра тяжести сечения C и моменты инерции Ixc, Iyc относительно центральных осей xc, yc. В таком случае можно определить моменты инерций относительно осей x и y, параллельных центральным и удаленным от центральных на расстояние a и b соответственно. Запишем соотношение для координат параллельных осей:

x = xc + b

y = yc + a

Тогда момент инерции сечения относительно оси x запишется в виде:


В этом выражении первое слагаемое представляет собой момент инерции относительно оси xc, во втором слагаемом интеграл представляет статический момент (а относительно центральной оси статический момент всегда равен нулю), третье слагаемое – это площадь сечения, умноженная на квадрат расстояния между осями а. Таким образом:

Ix = Ixc + a2A

Iy = Iyc + b2A

Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади сечения фигуры на квадрат расстояния между осями.

Мы получили соотношение для моментов инерции относительно центральных осей при переходе к параллельным им нецентральным. Эти соотношения носят также название формул параллельного переноса.

Из полученных формул понятно, что момент инерции относительно центральной оси всегда меньше, чем момент инерции любой параллельной ей нецентральной.


Рис. 10

26. Главные оси инерции и главные моменты инерции

Через любую точку плоскости сечения можно провести бесчисленное множество пар взаимно перпендикулярных осей. Так как сумма двух осевых моментов инерции сечения представляет собой полярный момент и является постоянной величиной, то, перемещая систему координат, можно подобрать такое положение осей, в котором один из выбранных моментов инерции будет максимальным, а второй – минимальным. Рассмотрим зависимость между моментами инерции относительно осей x0, y0 и моментами инерции относительно осей x и y, повернутыми на угол α относительно x0, y0. Найдем такие значения угла α, при которых моменты инерции перпендикулярных осей примут свои максимальное и минимальное значения. Для этого найдем первую производную по углу поворота от Ix, Iy и приравняем ее нулю (математическое правило нахождения экстремумов функции).


После преобразований соотношение примет вид:


Полученная формула определяет положение двух взаимно перпендикулярных осей, момент инерции относительно одной из которых максимален, момент инерции относительно другой минимален. Такие оси носят название главных осей инерции. Моменты инерции относительно таких осей называются главными моментами инерции. При этом центробежный момент равняется нулю.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, носят название центральных осей. В практических расчетах интерес представляют главные моменты инерции относительно центральных осей, их называют главными центральными моментами инерции, а такие оси – главными центральными осями. Так как интерес представляют только центральные оси, то для краткости их называют просто главными осями, и осевые моменты инерции, вычисленные относительно таких осей называют просто главными моментами инерции.

Одной из главных осей инерции является ось, проходящая через центр симметрии плоскости сечения, вторая – перпендикулярная ей. Ось симметрии и любая перпендикулярная ей образуют систему главных осей. Если сечение имеет несколько осей симметрии (например, круг, квадрат, равносторонний треугольник), то все центральные оси являются главными и все центральные моменты равны.

27. Вычисление моментов инерции сложных сечений

Для нахождения момента инерции сложного сечения площадью A сечение разбивают на простые A1, A2, … An, для которых моменты инерции находятся по готовым формулам или таблицам.

Момент инерции сложной фигуры находится как сумма моментов инерции, составляющих простых фигур.

Ix = Ix1 + Ix2 +… + Ixn

Момент инерции представляет собой интеграл по площади поверхности сечения,


для интеграла справедливо:


Следовательно, можно записать, что:


Другими словами, момент инерции составного сечения относительно некоторой оси складывается из моментов инерции составляющих этого сечения относительно той же самой оси.

При решении задач такого рода придерживаются следующего алгоритма. Находят центр тяжести плоского сечения и определяют главные центральные оси. Из таблиц или с помощью готовых формул вычисляют значения моментов инерции составляющих частей относительно собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям сечения. При помощи формул параллельного переноса вычисляют значения моментов инерции составляющих частей сечения относительно главных осей сечения. Путем суммирования определяют значения главных центральных моментов инерции.

Это правило справедливо также для центробежного момента инерции.

28. Понятие о крутящем моменте

Кручение – это один из видов деформации бруса, при котором в поперечном сечении бруса возникает один внутренний силовой фактор, называемый крутящим моментом Мк. Такой вид деформации возникает, когда на брус действует пара сил, называемых скручивающими моментами М, приложенных перпендикулярно его продольной оси.

Нагруженный вращающими моментами брус называется валом. Сумма вращающих моментов, действующих на вал, равна нулю, если вал вращается равномерно. Вращающий момент можно определить по формуле, с условием, что известны передаваемая мощность P и угловая скорость w.


При известной частоте вращения вала угловая скорость может быть записана в виде


Следовательно, выражение для вращающего момента можно записать в виде:


В практических расчетах реальный объект заменяется расчетной схемой. Для упрощения задачи предполагается, что вращательные моменты сосредоточены в среднем сечении деталей, а не распределены по их поверхности. В сечении произвольного вала крутящий момент можно определить, используя метод сечений, когда вал мысленно рассекается плоскостью. Одну из частей отбрасывают и заменяют ее влияние крутящим моментом Мк, затем определяют его из уравнений равновесия. Числовое значение крутящего момента складывается из сумм вращающих моментов, находящихся по одну сторону сечения.

В поперечных сечениях бруса при кручении возникают только касательные напряжения, нормальные силы параллельны продольной оси бруса и их моменты равны нулю. Следовательно, можно сформулировать определение для крутящего момента таким образом: крутящий момент – это результирующий момент внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении бруса относительно его продольной оси.

При расчетах на прочность в случае кручения бруса необходимо найти опасное сечение бруса. Если размеры поперечного сечения вдоль оси бруса неизменны, то опасными считаются сечения с максимальным крутящим моментом. Для нахождения опасных сечений строятся эпюры крутящих моментов (графики изменения крутящих моментов по длине бруса). При построении эпюров принято считать, что крутящий момент положителен, если его направление совпадает с направлением часовой стрелки, если смотреть на проведенное сечение. Это предположение условно, так как знак крутящего момента не имеет физического смысла.

29. Определение напряжений при кручении круглого вала

При изучении кручения валов имеют место следующие предположения:

– гипотеза плоских сечений: плоские поперечные сечения бруса после деформации также остаются плоскими и направленными по нормали к его оси, поворачиваясь на некоторый угол относительно этой оси;

– радиусы поперечных сечений не искривляются, и их длина остается постоянной;

– вдоль оси бруса расстояния между поперечными сечениями остаются постоянными.

Исходя из перечисленных предположений кручение круглого вала можно рассматривать как чистый сдвиг. Полученные на основе этих предположений формулы подтверждаются экспериментально.

Рассмотрим кручение участка бруса круглого сечения с радиусом r длиной dz. Один из концов будем считать неподвижно закрепленным.


Рис. 11

При повороте на угол a в поперечном сечении угол сдвига, лежащий на поверхности такого вала, определяется по формуле:


Отношение полного угла закручивания на участке вала к его длине называется относительным углом закручивания.

Мысленно выделим в рассматриваемом участке вала цилиндр с радиусом ρ, угол сдвига для поверхности этого цилиндра определяется аналогично:


Согласно закону Гука в случае сдвига касательные напряжения равны:


Таким образом, при кручении касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения, причем у центра тяжести касательные напряжения равны нулю. Приближаясь к поверхности вала, они принимают свои максимальные значения.

30. Вычисление моментов, передаваемых на вал

Рассмотрим кручение участка круглого вала диметром r и длиной dz. Выделим в нем цилиндр диаметра ρ. Так как кручение представляет собой чистый сдвиг, нормальные напряжения равны нулю, а касательные напряжения при повороте на угол α распределяются следующим образом:


Крутящий момент определяется как:


А – площадь сечения. Подставив в это выражение касательное напряжение и учитывая, что интеграл от радиуса по площади сечения представляет собой полярный момент инерции сечения , получим:


Подставив это выражение в формулу для касательных напряжений, получим:


Таким образом, касательные напряжения определяются как произведение крутящего момента и радиуса, отнесенное к полярному моменту сечения. Ясно, что для точек, удаленных от оси на одинаковые расстояния, касательные напряжения равны, максимальные значения напряжения имеют точки, расположенных на поверхности вала.


Здесь  – полярный момент сопротивления при кручении.

Для круглого сечения


Условие прочности при кручении выглядит следующим образом:


[τ] – максимально допускаемое касательное напряжение.

Эта формула позволяет также определять допускаемый крутящий момент или подбирать допустимый диаметр вала.

31, Деформация при кручении. Потенциальная энергия

В процессе кручения вращающие моменты поворачиваются вместе с сечением на какой-то угол и при этом совершают работу, которая так же, как и при других видах деформации, расходуется на создание в теле, подвергающемся деформации, определенного запаса потенциальной энергии и определяется по формуле:


Это соотношение следует из линейной зависимости крутящего момента Мк от угла поворота φ.


Рис. 12

При воздействии нагрузки крутящий момент постепенно нарастает, при этом в соответствии с законом Гука пропорционально увеличивается угол поворота. Работа, совершаемая крутящим моментом, равна потенциальной энергии деформации согласно закону сохранения энергии, следовательно,


Если в полученное соотношение подставить известную формулу для угла закручивания, то выражение примет вид:


При ступенчатом изменении крутящего момента или поперечного сечения бруса потенциальная энергия представляет собой сумму:


Если же крутящий или полярный моменты (или оба одновременно) непрерывно изменяются по длине участков бруса, то потенциальная энергия представляет интеграл по длине


32. Расчет винтовых цилиндрических пружин

В машиностроении и приборостроении широко используются винтовые пружины, которые могут иметь цилиндрическую, конусовидную или фасонную. Чаще всего применяются пружины цилиндрической формы, изготовленные из проволоки круглого поперечного сечения: пружины растяжения (изготавливаются без просветов между витками) и пружины сжатия (с просветом). Для упрощения расчета пружин на жесткость и прочность будем считать, что угол наклона витков настолько мал, что им можно пренебречь и считать сечение вдоль оси пружины поперечным для витка. Из условий равновесия для отсеченной части пружины ясно, что в сечении возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy = F и крутящий момент Мк = FD / 2, т. е. в сечении витка возникают только касательные напряжения. Будем считать, что касательные напряжения, связанные с поперечной силой, распределены по сечению равномерно, а касательные силы, связанные с наличием крутящего момента, распределены по линейному закону и достигают своих максимальных значений в крайних точках сечения. Наиболее напряженной окажется точка, расположенная ближе всего к оси пружины, напряжение для нее равно:


Отношение диаметра пружины к диаметру проволоки называют индексом пружины,

cn = D / d

Если считать что напряжения в витке возникают только от кручения, и пренебречь вторым слагаемым, формула запишется в следующем виде:


Полученная формула приближенна из-за пренебрежения влиянием поперечной силы и из-за того, что не учтена кривизна витков. Введем поправочный коэффициент К, зависящий от индекса пружины и угла наклона витков. Тогда условие прочности примет вид:


При воздействии нагрузки пружина изменяет свою длину. Это изменение называется осадкой пружины λ. Определим, чему равна осадка, если витки испытывают только кручение. Согласно формуле Клапейрона работа внешних статических сил равна:


Потенциальная энергия деформации


В данном случае


где l – длина рассматриваемого участка пружины;

n – число витков.

Выполнив подстановку и математические преобразования, получим, что:


33. Перемещения и напряжения в винтовых пружинах

Винтовые пружины широко используются в машиностроении как амортизирующие устройства или устройства обратной подачи. Расчет винтовых пружин хорошо демонстрирует метод определения перемещений. Винтовые пружины подразделяются на пружины растяжения, сжатия и кручения. Пружины растяжения и сжатия нагружаются силами, действующими вдоль оси пружины, пружины кручения нагружаются моментами, расположенными в плоскости, перпендикулярной оси пружины.

Витую пружину можно рассматривать как пространственно изогнутый стержень с осью, имеющей винтовую форму. Форма пружины характеризуется следующими параметрами: диаметром пружины D, числом витков n, углом подъема θ и шагом пружины s, определяемым формулой:

s = πDtgθ

Обычно шаг пружины значительно меньше, чем πD, угол θ достаточно мал (меньше 5°).

Рассмотрим пружину растяжения-сжатия. Под воздействием внешней нагрузки Р в каждом поперечном сечении возникает результирующая внутренняя сила Р и момент М = РD / 2, лежащий в плоскости действия сил Р. На Рис. 13 изображены силы, действующие в поперечном сечении пружины.


Рис. 13

Проекции полной силы и момента относительно системы координат, связанной с сечением, описываются следующими соотношениями:

Mк = (PD / 2) × cosθ,

Mизг= (PD / 2) × sinθ,

Q = P × cosθ,

N = P × sinθ.

Предположим, что сила Р равна 1, тогда соотношения для сил и моментов примут вид:

Mк1 = (D / 2) × cosθ,

Mизг1 = (D / 2) × sinθ,

Q1 = cosθ,

N1 = sinθ.

Найдем осевое перемещение в пружине, пользуясь интегралом Мора. С учетом малости перемещений, вызванных нормальной и поперечными силами, а также осевого перемещения, в данном случае интеграл Мора запишется следующим образом:


где произведение в знаменателе представляет собой жесткость пружины на кручение;

l – длина рабочей части пружины;

l ≈ πDn

Вследствие малости угла наклона витков θ полагаем, что cos θ = 1, тогда


Напряжения в винтовых пружинах, работающих на сжатие-растяжение или кручение, определяются следующим образом:


Сопромат.in.ua: Площадь сечения некоторых фигур

Приведены формулы вычисления площади некоторых фигур, которые вы можете вычислить непосредственно на этой странице.

Фигура Формула
вычисления площади
Примечания Вычислить площадь
Квадрат $$a^2$$ a длина стороны квадрата.
Равносторонний треугольник $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$ a – длина одной из сторон
Треугольник $$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ где s = 1/2 (a + b + c),
a,b,c – длины сторон треугольника
$$\frac{1}{2}b\cdot h_b$$ где b – длина стороны треугольника
hb – высота, проведённая на сторону b
$$\frac{1}{2} a b \sin \gamma $$ где a и b – длина сторон треугольника
[math]\gamma[/math] – угол между ними в °
Правильный шестиугольник $$\frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$$ s
сторона шестиугольника
Правильный восьмиугольник $$2\left(1+\sqrt{2}\right)s^2$$ s – сторона восьмиугольника
R – радиус описанной окружности
$$s={R\over\sqrt{1+{\sqrt{2}/2}}} ≈ {R\over 1.3066}$$
Прямоугольник $$a\cdot b$$ a и b стороны прямоугольника (длина и ширина)
Параллелограмм $$b\cdot h$$ b – длина одной из основ параллелограмма
h – высота параллелограмма
Трапеция $$\frac{a+b}{2}\cdot h $$ a и b длины параллельных сторон,
а h – высота (расстояние между параллельными сторонами)
Правильный многоугольник
(это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой)
$$\frac{ns^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)} $$ s -длина стороны, а n число сторон.
Круг $$\pi r^2 \text{   или  } \frac{\pi d^2}{4} $$ r – радиус, а d – диаметр
Эллипс $$\pi ab $$ a и b – большая и малая полуоси эллипса, соответственно.
Сектор
(часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга)
$$\frac{1}{2} r^2 \theta $$ r и [math]\theta[/math] – радиус и угол (в радианах), соответственно
$$\frac{1}{2} r^2 \frac{\theta \pi}{180} $$ r и [math]\theta[/math] – радиус и угол (в ° ), соответственно

Leave Comment

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *